# c()函数可以创建或合并向量
v <- c(1, 1)
w <- c(2, 3)
print(v + w)[1] 3 41 Introduction to Vectors
1.1 Vectors and Linear Combinations
线性代数的核心操作是向量加法及向量组合。
假设两个向量\(\boldsymbol{v}\), \(\boldsymbol{w}\), 以及两个数值\(c\)，\(d\)。可以有下面的线性组合。 \[c\boldsymbol{v} + d\boldsymbol{w} = c\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + d\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c + 2d \\ c + 3d \end{bmatrix} \]
在R语言中，我们可以如下实现。
c <- 2 # 这里给c赋值，不用担心，c函数跟c变量R语言可以区分出来，但是一般不要这么做。
d <- 1
print(c * v + d * w)[1] 4 5向量组合符合平行四边形定则，我们试着在坐标轴上将向量组合画出来。 \[\boldsymbol{w} + \boldsymbol{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} \]
1.2 Lengths and Dot Products
向量的点乘(内积)是向量对应位置元素相乘的和。 \[ \boldsymbol{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}, \boldsymbol{w} = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix} \] \[ \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{w} = v_1w_1 + v_2w_2 \]
Tip
从上式可知，向量的点乘满足交换律。
向量的模(magnitude) \[ \left|\left| \boldsymbol{v} \right|\right| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} \]